Question

已知函數，是大于零的常數．

（Ⅰ）當時,求的極值；

（Ⅱ）若函數在區間上為單調遞增，求實數的取值范圍；

(Ⅲ)證明：曲線上存在一點，使得曲線上總有兩點，且成立.

 

Answer 1

【答案】

（I）極大值，極小值.

（Ⅱ）當函數在區間上為單調遞增時，或．

（Ⅲ）曲線上存在一點，使得曲線上總有兩點，且成立 ．

【解析】

試題分析：（I）求極值一般遵循“求導數、求駐點、討論區間的導數值正負、計算極值”.

（Ⅱ）函數在區間上為單調遞增，因此，其導函數為正數恒成立，據此建立的不等式求解.

應注意結合的不同取值情況加以討論.

（Ⅲ）通過確定函數的極大值、極小值點,, 并確定的中點.

設是圖象任意一點,由，可得，

根據，可知點在曲線上，作出結論.

本題難度較大，關鍵是能否認識到極大值、極小值點,的中點即為所求.

試題解析：（I），，

當時，，

令得.

在分別單調遞增、單調遞減、單調遞增，

于是，當時，函數有極大值，時，有極小值.

------4分

（Ⅱ），若函數在區間上為單調遞增，

則在上恒成立，

當，即時，由得；

當，即時，，無解；

當，即時，由得．

綜上，當函數在區間上為單調遞增時，或．    10分

（Ⅲ），，

令，得，

在區間，，上分別單調遞增，單調遞減，單調遞增，

于是當時，有極大值；

當時，有極小值．

記,, 的中點,

設是圖象任意一點,由，得，

因為

，

由此可知點在曲線上，即滿足的點在曲線上．

所以曲線上存在一點，使得曲線上總有兩點，且成立 ．          14分

考點：應用導數研究函數的單調性、極值，平面向量的坐標運算.