Question

已知圓O：x²+y²=4內一點P（0，1），過點P的直線l交圓O于A，B兩點，且滿足

AP

=λ

PB

（λ為參數）．
（1）若|AB|=

14

，求直線l的方程；
（2）若λ=2，求直線l的方程；
（3）求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）當直線l的斜率不存在時，求得|AB|=4，不滿足條件．故可設所求直線l的方程為y=kx+1代入
圓的方程整理，利用弦長公式可求得直線方程．
（II）當直線l的斜率不存在時，不滿足條件，故可設所求直線l的方程為y=kx+1代入圓的方程，整理得
（1+k²）x²+2kx-3=0，（*）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂為方程（*）的兩根，由

AP

=2

PB

可得x₁=-2x₂ ，則有

x1+x2=-x2= -2k 1+k2 ，(1) x1x2=-2 x 2 2 =- 3 1+k2 ，(2)

，由此解得k的值，可得直線l的方程．
（III）當直線l的斜率不存在時，由條件求得λ的值．當直線l的斜率存在時可設所求直線l的方程為y=kx+1，
代入圓的方程，整理得（1+k²）x²+2kx-3=0（*）．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂為方程
（*）的兩根，由

AP

=λ

PB

可得x₁=-λx₂，則有

x1+x2=(1-λ)x2= -2k 1+k2 ，(3) x1x2=-λ x 2 2 =- 3 1+k2 ，(4)

，化簡可得

(1-λ)2

λ

=

4k2

3(1+k2)

，而

4k2

3(1+k2)

=

4

3

-

4

3(1+k2)

∈[0，

4

3

)，再由0≤

(1-λ)2

λ

＜

4

3

求出λ的范圍．
綜合可得實數λ的取值范圍．

解答：解：（I）當直線l的斜率不存在時，|AB|=4，不滿足條件．故可設所求直線l的方程為y=kx+1代入圓的方程，
整理得（1+k²）x²+2kx-3=0，
利用弦長公式可求得直線方程為y=x+1或y=-x+1．
（II）當直線l的斜率不存在時，

AP

=3

PB

或

AP

=

1

3

PB

，不滿足條件，故可設所求直線l的方程為y=kx+1
代入圓的方程，整理得（1+k²）x²+2kx-3=0，（*）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂為方程（*）的兩根，
由

AP

=2

PB

可得x₁=-2x₂ ，則有

x1+x2=-x2= -2k 1+k2 ，(1) x1x2=-2 x 2 2 =- 3 1+k2 ，(2)

．
（1）²÷（2）得

1

2

=

4k2

3(1+k2)

，解得k=±

15

5

，
所以直線l的方程為y=±

15

5

x+1．
（III）當直線l的斜率不存在時，

AP

=3

PB

或

AP

=

1

3

PB

，λ=3或或λ=

1

3

，
當直線l的斜率存在時可設所求直線l的方程為y=kx+1，代入圓的方程，整理得（1+k²）x²+2kx-3=0，（*）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂為方程（*）的兩根，
由

AP

=λ

PB

可得x₁=-λx₂ ，
則有

x1+x2=(1-λ)x2= -2k 1+k2 ，(3) x1x2=-λ x 2 2 =- 3 1+k2 ，(4)

，（3）²÷（4）得

(1-λ)2

λ

=

4k2

3(1+k2)

，
而

4k2

3(1+k2)

=

4

3

-

4

3(1+k2)

∈[0，

4

3

)，由0≤

(1-λ)2

λ

＜

4

3

，可解得

1

3

＜λ＜3，
所以實數λ的取值范圍為

1

3

≤λ≤3．

點評：本題主要考查兩個向量共線的性質，直線和圓的位置關系，一元二次方程根與系數的關系，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．