Question

若函數f（x）的定義域為R，且存在常數m＞0，對任意x∈R，有|f（x）|≤m|x|，則稱f（x）為F函數．給出下列函數：
①f（x）=x²，②f（x）=sinx+cosx，③f(x)=

x

x2+x+1

，④f（x）是定義在R上的奇函數，且滿足對一切實數x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2012|x₁-x₂|，⑤f(x)=x

1

2

，其中是F函數的有

③④

．

Answer 1

分析：本題是一個新定義的題目，故依照定義的所給的規則對所四個函數進行逐一驗證，選出正確的即可．

解答：解：對于①，∵f（x）=x²，∴|f（x）|≤m|x|不成立，故①不是F-函數；
對于②，∵f（x）=sinx+cosx，∴x=0時，|f（x）|＜m|x|不成立，故②不是F函數；
對于③，∵f(x)=

x

x2+x+1

，∴要使|f（x）|≤m|x|成立，
即|

x

x2+x+1

|≤m|x|，
當x=0時，m可取任意正數；當x≠0時，只須m≥|

x

x2+x+1

|的最大值．
因為x²+x+1=（x+

1

2

）2+

3

4

≥

3

4

，
所以m≥

4

3

時，f(x)=

x

x2+x+1

是F函數，故③是F函數；
對于④，∵f（x）是定義在R上的奇函數，
且滿足對一切實數x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|，
∴令x₁=x，x₂=0，由奇函數的性質知，f（0）=0，
故有|f（x）|＜2|x|．故④是F函數．
對于⑤，∵f(x)=x

1

2

，∴|f（x）|≤m|x|不成立，故⑤不是F函數．
故答案為：③④．

點評：本題考查根據所給的新定義來驗證函數是否滿足定義中的規則，是函數知識的給定應用題，綜合性較強，做題時要注意運用所深知識靈活變化進行證明．