Question

在平面直角坐標系中，點P到兩點（0，-

3

），（0，

3

）的距離之和等于4，設點P的軌跡為C．
（I）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過點（0，

3

）作兩條互相垂直的直線l₁，l₂分別與曲線C交于A，B和C，D．求四邊形ACBD面積的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據點P到兩點（0，-

3

），（0，

3

）的距離之和等于4，利用橢圓的定義，可得橢圓方程可得．
（II）分類討論，設出直線方程和橢圓方程聯立消去y，根據韋達定理求得|AB|的表達式，進而把k換為-

1

k

，求得|CD|表達式進而得到四邊形ABCD的面積，令k²+1=t，根據t的范圍可確定四邊形ABCD的面積的范圍，最后看當直線l₁或l₂的斜率有一個不存在時，另一個斜率為0，此時四邊形ABCD的面積為2，綜合可得答案．

解答：解：（I）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以（0，-

3

），（0，

3

）為焦點，長半軸為2的橢圓．它的短半軸b=

a2-c2

=1，故曲線C的方程為x²+

y2

4

=1；
（II）①當兩直線的斜率存在時，設直線l1：y=kx+

3

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線方程代入橢圓方程，可得（k²+4）x²+2

3

kx-1=0，
故x₁+x₂=

2 3 k

k2+4

，x₁x₂=-

1

k2+4

∴|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

4(k2+1)

k2+4

將上式中的k換為-

1

k

得|CD|=

4(k2+1)

4k2+1

由于AB⊥CD，故四邊形ACBD的面積為S=

1

2

|AB||CD|=

8(k2+1)2

(k2+4)(4k2+1)

令k²+1=t，則S=

8t2

(t+3)(4t-3)

=

8t2

4t2+9t-9

=

8

-9( 1 t - 1 2 )2+ 25 4

∵

1

t

∈（0，1），∴4＜-9（

1

t

-

1

2

）²+

25

4

≤

25

4

∴

32

25

≤S＜2，
②直線l₁或l₂的斜率有一個不存在時，另一個斜率為0，不難驗證此時四邊形ABCD的面積為2，
故四邊形ACBD面積的取值范圍是[

32

25

，2)．

點評：本題主要考查了橢圓的應用，考查直線與橢圓的位置關系，考查了學生對問題的綜合分析和基本的運算能力，屬于中檔題．