Question

設函數

   （I）設；

   （II）求的單調區間；

   （III）當恒成立，求實數t的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

(I)    (II)當時，函數的減區間為，無增區間，

    當時，函數的減區間為，增區間為．(III) 即為所求．

【解析】(I)先求出g(x)的表達式，

然后再利用積分公式求積分即可。

(II)先求出f(x)的導函數,

然后分a=0,a>0,a<0三種情況進行討論求其單調區間。

(III)由（II）得,

因為a>0,所以,

然后把看作整體x,再構造,求其最大值，讓m(x)的最大值小于零即可

(I)

                                                             …………1分

當時，， .…………2分

      .…………4分

(II)，…………5分

    當時，，

所以函數的減區間為，無增區間；…………6分

當時，，

若，由得，由得， 

所以函數的減區間為，增區間為；…………7分

若，此時，所以，

所以函數的減區間為，無增區間；  …………8分

綜上所述，當時，函數的減區間為，無增區間，

當時，函數的減區間為，增區間為．…………9分

(III) 由(II)得，，…………10分

因為，所以，

令，則恒成立，

由于，

① 當時，，故函數在上是減函數，所以成立； 

② 當時，若得，故函數在上是增函數，

即對，，與題意不符；

綜上所述，可以知道，即為所求