Question

已知函數，(x＞0)．

(Ⅰ)當0＜a＜b，且f(a)＝f(b)時，求證：ab＞1；

(Ⅱ)是否存在實數a，b(a＜b)，使得函數y＝f(x)的定義域、值域都是[a，b]，若存在，則求出a，b的值，若不存在，請說明理由．

(Ⅲ)若存在實數a，b(a＜b)，使得函數y＝f(x)的定義域為[a，b]時，值域為[ma，mb]

(m≠0)，求m的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)∵x＞0，∴ 　　∴f(x)在(0，1)上為減函數，在上是增函數． 　　由0＜a＜b，且f(a)＝f(b)， 　　可得0＜a＜1＜b和． 　　即． 　　∴2ab＝a＋b＞．　　　　　　　　　　　　　　3分 　　故，即ab＞1．　　　　　　　　　　　　　　4分 　　(Ⅱ)不存在滿足條件的實數a，b． 　　若存在滿足條件的實數a，b，使得函數y＝的定義域、值域都是[a，b]，則a＞0． 　　 　　當時，在(0，1)上為減函數． 　　故即 　　解得a＝b． 　　故此時不存在適合條件的實數a，b．　　　　　　　　　　　　6分 　　當時，在上是增函數． 　　故即 　　此時a，b是方程的根，此方程無實根． 　　故此時不存在適合條件的實數a，b．　　　　　　　　　　　　8分 　　當，時， 　　由于，而， 　　故此時不存在適合條件的實數a，b． 　　綜上可知，不存在適合條件的實數a，b．　　　　　　　　　　　　10分 　　(Ⅲ)若存在實數a，b(a＜b)，使得函數y＝f(x)的定義域為[a，b]時，值域為[ma，mb]． 　　則a＞0，m＞0． 　　當時，由于f(x)在(0，1)上是減函數，故．此時刻得a，b異號，不符合題意，所以a，b不存在． 　　當或時，由(Ⅱ)知0在值域內，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在． 　　故只有． 　　∵在上是增函數， 　　∴即 　　b是方程的兩個根． 　　即關于x的方程有兩個大于1的實根．　　　　　　　　12分 　　設這兩個根為，． 　　則＋＝，·＝． 　　∴即 　　解得． 　　故m的取值范圍是．　　　　　　　　　　　　　　　　14分