Question

經過點F （0，1）且與直線y=-1相切的動圓的圓心軌跡為M點A、D在軌跡M上，且關于y軸對稱，過線段AD （兩端點除外）上的任意一點作直線l，使直線l與軌跡M 在點D處的切線平行，設直線l與軌跡M交于點B、C．
（1）求軌跡M的方程；
（2）證明：∠BAD=∠CAD；
（3）若點D到直線AB的距離等于，且△ABC的面積為20，求直線BC的方程．

Answer 1

解：（1）設圓心坐標為（x，y），由題意動圓經過定點F（0，1），且與定直線：y=-1相切，
所以 =|y+1|，
即（y-1）²+x²=（y+1）²，
即x²=-4y．故軌跡M的方程為x²=-4y．
（2）由（1）得y=x²，∴y′=x，
設D（x₀，），由導數的幾何意義 得直線l的斜率為k_BC=，
則A（-x₀，），設C（x₁，），B（x₂，）．
則k_BC===x₀，∴x₁+x₂=2x₀．
k_AC==，k_AB=，
∴k_BC+_AB=+==0，∴k_AB=-k_BC．
∴∠BAD=∠CAD．
（3）點D到直線AB的距離等于，可知∠BAD=45°，
不妨設C在AD上方，即x₂＜x₁，直線AB的方程為：y-=-（x+x₀），與x²=-4y聯立方程組，
解得B點的坐標為（x₀-4，），∴|AB|=|x₀-4-（-x₀）|=2|x₀-2|
由（2）知，∠CAD=∠BAD=45°，同理可得|AC|=2|x₀+2|．
∴△ABC的面積為×|x₀+2|×2|x₀-2|=20．
解得x₀=±3．
當x₀=3時，B（（-1，），K_BC=，直線BC的方程為6x-4y+7=0；
當x₀=-3時，B（（-7，），K_BC=-，直線BC的方程為6x+4y-7=0；
分析：（1）設出動圓的圓心坐標，利用動圓經過定點F（0，1），且與定直線：y=-1相切，列出方程化簡即可得到所求軌跡方程．
（2）由（1）得y=x²，設D（x₀，），由導數的幾何意義，得直線l的斜率，又A（-x₀，），設C（x₁，），B（x₂，）．利用斜率公式得到x₁+x₂=2x₀．從而有k_AB=-k_BC，即可證得∠BAD=∠CAD．
（3）根據條件：點D到直線AB的距離等于，可知∠BAD=45°，將直線AB的方程與x²=-4y聯立方程組，解得B點的坐標，求出|AB|，|AC|，最后根據△ABC的面積列出方程，解得x₀=±3，從而得出直線BC的方程．
點評：本題是中檔題，考查動點的軌跡方程的求法，直線與拋物線的位置關系，考查計算能力．