Question

【題目】設函數f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函數．
（1）求常數k的值；
（2）若a＞1，試判斷函數f（x）的單調性，并加以證明；
（3）若已知f（1）= ，且函數g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在區間[1，+∞）上的最小值為﹣2，求實數m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函數．

∴f（0）=0，即k﹣1=0，解得k=1

（2）解：∵f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），

當a＞1時，f（x）在R上遞增．

理由如下：設m＜n，則f（m）﹣f（n）=am﹣a﹣m﹣（an﹣a﹣n）

=（am﹣an）+（a﹣n﹣a﹣m）=（am﹣an）（1+ ），

由于m＜n，則0＜am＜an，即am﹣an＜0，

f（m）﹣f（n）＜0，即f（m）＜f（n），

則當a＞1時，f（x）在R上遞增

（3）解：∵f（1）= ，∴a﹣ = ，

即3a2﹣8a﹣3=0，

解得a=3或a=﹣ （舍去）．

∴g（x）=32x+3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x）=（3x﹣3﹣x）2﹣2m（3x﹣3﹣x）+2，

令t=3x﹣3﹣x，

∵x≥1，

∴t≥f（1）= ，

∴（3x﹣3﹣x）2﹣2m（3x﹣3﹣x）+2=（t﹣m）2+2﹣m2，

當m 時，2﹣m2=﹣2，解得m=2，不成立舍去．

當m 時，（ ）2﹣2m× +2=﹣2，

解得m= ，滿足條件，

∴m= ．

【解析】（1）由于函數的定義域為R，且f（x）為奇函數，一定有f（0）=0，解得k=1，（2）根據函數單調性的定義，進行設值作差，分析可得出f（x）在R上單調遞增，（3）由于f（1）=,解得a=3，代入g（x）中，得到解析式，使用換元法，結合二次函數的最值問題，可解得m的值.
【考點精析】通過靈活運用函數單調性的判斷方法和函數奇偶性的性質，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇即可以解答此題．