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對于函數f（x），若存在x0使得f（x0）=x0成立，則稱點（x0，x0）為函數f（x）的不動點．
（1）已知函數f（x）=ax2+bx-b（a≠0）有不動點（1，1）和（-3，-3），求a，b的值．
（2）若對于任意實數b，函數f（x）=ax2+bx-b總有兩個相異的不動點，求a的范圍．
分析：（1）根據不動點的定義，及已知中函數f（x）=ax2+bx-b（a≠0）有不動點（1，1）和（-3，-3），我們易構造一個關于a，b的二元一次方程組，解方程組即可得到答案．
（2）若函數f（x）=ax2+bx-b總有兩個相異的不動點，則方程ax2+bx-b=x有兩個相異的實根，由此可以構造出一個不等式，結合函數的性質，解不等式即可得到a的范圍．
解答：解：（1）由題意
f(1)=1
f(-3)=-3
，即
a+b-b=1
a(-3)2+b(-3)-b=-3
，解的
a=1
b=3
．
（2）函數f（x）=ax2+bx-b總有兩個相異的不動點，
即關于x的方程f（x）=x有兩個不等根．
化簡f（x）=x得到ax2+（b-1）x-b=0．
所以（b-1）2+4ab＞0，即b2+（4a-2）b+1＞0．
由題意，該關于b的不等式恒成立，
所以（4a-2）2-4＜0．解之得：0＜a＜1．
點評：本題考查的知識點是二次函數的性質，其中根據二次函數、二次方程、二次不等式之間的關系，將函數問題轉化為不等式或方程問題是解答本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f（x），若存在區間M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區間M為函數f（x）的一個“穩定區間”．給出下列4個函數：
①f（x）=（x-1）2；②f（x）=|2x-1|；③f(x)=cos
π2
x；④f（x）=ex．其中存在“穩定區間”的函數有
 
（填出所有滿足條件的函數序號）

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f（x），若在其定義域內存在兩個實數a，b（a＜b），使當x∈[a，b]時，f（x）的值域也是[a，b]，則稱函數f（x）為“科比函數”．若函數f（x）=k+
x+2
是“科比函數”，則實數k的取值范圍是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動點．如果函數
f（x）=ax2+bx+1（a＞0）有兩個相異的不動點x1，x2．
（1）若x1＜1＜x2，且f（x）的圖象關于直線x=m對稱，求證：
12
＜m＜1；
（2）若|x1|＜2且|x1-x2|=2，求b的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f（x），若f（x0）=x0，則稱x0為f（x）的：“不動點”；若f[f（x0）]=x0，則稱x0為f（x）的“穩定點”．函數f（x）的“不動點”和“穩定點”的集合分別記為A和B，即A={x|f[f（x）]=x}．
（1）設函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且A=∅，求證：B=∅；
（2）設函數f（x）=3x+4，求集合A和B，并分析能否根據（1）（2）中的結論判斷A=B恒成立？若能，請給出證明，若不能，請舉以反例．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f（x），若存在x0∈R，使得f（x0）=x0，則稱x0為函數f（x）的不動點．若函數f（x）=
x2+a
bx-c
（b，c∈N*）有且僅有兩個不動點0和2，且f（-2）＜-
1
2
．
（1）試求函數f（x）的單調區間，
（2）已知各項不為0的數列{an}滿足4Sn•f（
1
an
）=1，其中Sn表示數列{an}的前n項和，求證：(1-
1
an
)an+1＜
1
e
＜(1-
1
an
)an
（3）在（2）的前題條件下，設bn=-
1
an
，Tn表示數列{bn}的前n項和，求證：T2011-1＜ln2011＜T2010．

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