Question

【題目】如圖，某市有一條東西走向的公路，現欲經過公路上的處鋪設一條南北走向的公路．在施工過程中發現在處的正北1百米的處有一漢代古跡．為了保護古跡，該市決定以為圓心， 1百米為半徑設立一個圓形保護區．為了連通公路，欲再新建一條公路,點 分別在公路上，且求與圓相切．

(1)當距處2百米時，求的長；

(2)當公路長最短時，求的長.

Answer 1

【答案】(1)當距處2百米時， 的長為百米；(2)當公路長最短時， 的長為百米.

【解析】試題分析：題目中涉及到直線與圓相切的條件，一般在平面直角坐標系中研究，所以先建立合適的坐標系；（1）已知點,則設直線的方程，可設截距（或點斜式），利用圓心到直線的距離等于半徑，求得的坐標，從而得到的長；（2）研究長的最小值，則需要建立目標函數，選擇合適的變量，本小題依然可以設直線的兩個截距，則容易表示出的長和直線方程，由相切再得到兩截距間的關系，消元后則得到一個一元的函數，再利用導數研究它的最小值；

試題解析：

以為原點，直線、分別為軸建立平面直角坐標系．

設與圓相切于點，連結，以百米為單位長度，則圓的方程為，

（1）由題意可設直線的方程為，即， ，

∵與圓相切，∴，解得，

故當距處百米時， 的長為百米．

（2）設直線的方程為，即， ，

∵與圓相切，∴，化簡得，則，

令，∴ ，

當時， ，即在上單調遞減；

當時， ，即在上單調遞增，

∴在時取得最小值，故當公路長最短時， 的長為百米．

答：（1）當距處百米時， 的長為百米；（2）當公路長最短時， 的

長為百米．