Question

【題目】如圖，已知拋物線C：y2=2px和⊙M：（x﹣4）2+y2=1，過拋物線C上一點H（x0 ， y0）（y0≥1）作兩條直線與⊙M相切于A、兩點，分別交拋物線為E、F兩點，圓心點M到拋物線準線的距離為 ．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）當∠AHB的角平分線垂直x軸時，求直線EF的斜率；
（Ⅲ）若直線AB在y軸上的截距為t，求t的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵點M到拋物線準線的距離為 = ，
∴ ，∴拋物線C的方程為y2=x．
（Ⅱ）法一：∵當∠AHB的角平分線垂直x軸時，點H（4，2），∴kHE=﹣kHF ，
設E（x1 ， y1），F（x2 ， y2），∴ ，∴ ，
∴y1+y2=﹣2yH=﹣4．
∴ ．
法二：∵當∠AHB的角平分線垂直x軸時，點H（4，2），∴∠AHB=60°，可得 ， ，
∴直線HA的方程為 ，
聯立方程組 ，得 ，
∵
∴ ， ．
同理可得 ， ，∴ ．（
（Ⅲ）法一：設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），∵ ，∴ ，
∴直線HA的方程為（4﹣x1）x﹣y1y+4x1﹣15=0，
同理，直線HB的方程為（4﹣x2）x﹣y2y+4x2﹣15=0，
∴ ， ，
∴直線AB的方程為 ，
令x=0，可得 ，
∵ ，∴t關于y0的函數在[1，+∞）上單調遞增，
∴當y0=1時，tmin=﹣11．
法二：設點H（m2 ， m）（m≥1），HM2=m4﹣7m2+16，HA2=m4﹣7m2+15．
以H為圓心，HA為半徑的圓方程為（x﹣m2）2+（y﹣m）2=m4﹣7m2+15，①
⊙M方程：（x﹣4）2+y2=1．②
①﹣②得：直線AB的方程為（2x﹣m2﹣4）（4﹣m2）﹣（2y﹣m）m=m4﹣7m2+14．（9分）
當x=0時，直線AB在y軸上的截距 （m≥1），
∵ ，∴t關于m的函數在[1，+∞）上單調遞增，
∴當m=1時，tmin=﹣11
【解析】（Ⅰ）利用點M到拋物線準線的距離為 ，可得 ，從而可求拋物線C的方程；（Ⅱ）法一：根據當∠AHB的角平分線垂直x軸時，點H（4，2），可得kHE=﹣kHF ， 設E（x1 ， y1），F（x2 ， y2），可得y1+y2=﹣2yH=﹣4，從而可求直線EF的斜率；
法二：求得直線HA的方程為 ，與拋物線方程聯立，求出E，F的坐標，從而可求直線EF的斜率；（Ⅲ）法一：設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），求出直線HA的方程，直線HB的方程，從而可得直線AB的方程，令x=0，可得 ，再利用導數法，即可求得t的最小值．
法二：求以H為圓心，HA為半徑的圓方程，⊙M方程，兩方程相減，可得直線AB的方程，當x=0時，直線AB在y軸上的截距 （m≥1），再利用導數法，即可求得t的最小值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．