Question

已知函數f（x）=

2 π |x+π|， x＜- π 2 -sinx， - π 2 ≤x≤0 1 3 x2- 2 3 x， x＞0

，若關于x的方程滿足f（x）=m（m∈R）有且僅有三個不同的實數根，且α，β分別是三個根中最小根和最大根，則β-sin(

π

3

+α)的值為

5

2

．

Answer 1

分析：同一坐標系內作出函數y=f（x）的圖象和直線y=m，因為兩圖象有且僅有三個公共點，所以m=1．再解方程f（x）=1，得最大根β與最小根α，將它們代入再化簡，即可得到要求值式子的值．

解答：解：函數f（x）=

2 π |x+π|， x＜- π 2 -sinx， - π 2 ≤x≤0 1 3 x2- 2 3 x， x＞0

的圖象如下圖所示：

可得函數f（x）的單調減區間為（-∞，-π）和（-

π

2

，1）；
單調增區間為（-π，-

π

2

）和（1，+∞），
f（x）的極大值為f（-

π

2

）=1，極小值為f（1）=-

1

3

和f（-π）=0
將直線y=m進行平移，可得當m=1時，兩圖象有且僅有三個不同的公共點，
相應地方程f（x）=m（m∈R）有且僅有三個不同的實數根．
令f（x）=1，得x₁=-

3π

2

，x₂=-

π

2

，x₃=3，所以β=3，α=-

3π

2

，
∴β-sin（

π

3

+α）=3-•sin（-

7π

6

）=3-

1

2

=

5

2

．
故答案為：

5

2

．

點評：本題以分段函數為例，求方程的最大根和最小根，并且用這個根來求值，著重考查了函數與方程的關系，以及三角函數求值等知識，屬于中檔題．