Question

已知函數f（x）和g（x）的定義域都是實數集R，f（x）是奇函數，g（x）是偶函數．且當x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，g（-2）=0，則不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　�。�

A．（-∞，-2）∪（0，2）

B．（-2，0）∪（0，2）

C．（-∞，-2）∪（2，+∞）

D．（-2，0）∪（2，+∞）

Answer 1

分析：先根據f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0可確定[f（x）g（x）]'＞0，進而可得到f（x）g（x）在x＜0時遞增，結合函數f（x）與g（x）的奇偶性可確定f（x）g（x）在x＞0時也是增函數，最后根據g（2）=0可求得答案．

解答：解：因 f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，即[f（x）g（x）]'＞0，
故f（x）g（x）在x＜0時遞增，
又∵f（x），g（x）分別是定義R上的奇函數和偶函數，
∴f（x）g（x）為奇函數，關于原點對稱，所以f（x）g（x）在x＞0時也是增函數．
∵f（-2）g（-2）=0，
∴f（2）g（2）=0，
所以f（x）g（x）＜0的解集為：{x|0＜x＜2或x＜-2}，
故選A．

點評：本題考查了函數的奇偶性的應用，以及導數的運算，不等式的解法等，屬于中檔題．