Question

設g(x)=px-

q

x

-2f(x)，其中f（x）=lnx，且g(e)=qe-

p

e

-2．（e為自然對數的底數）
（Ⅰ）求p與q的關系；
（Ⅱ）若g（x）在其定義域內為單調函數，求p的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據g（x）的解析式，表示出g（e），再根據g(e)=qe-

p

e

-2，列出方程，即可得到p與q的關系；
（II）根據題意，可知g′（x）≥0或g′（x）≤0在定義域內恒成立，轉化成h（x）=px²-2x+p≥0或h（x）=px²-2x+p≤0恒成立，利用二次函數的性質求解，即可得到p的取值范圍．

解答：解：（I）由題意知，g(x)=px-

q

x

-2lnx，
∵g(e)=qe-

p

e

-2，
∴pe-

q

e

-2=qe-

p

e

-2，
∴(p-q)e+(p-q)

1

e

=0，即(p-q)(e+

1

e

)=0，
而e+

1

e

≠0，
∴p與q的關系為p=q；
（II）由（I）知，g(x)=px-

p

x

-2lnx，
∴g′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

，
令h（x）=px²-2x+p，
∵g（x）在其定義域（0，+∞）內為單調函數，
∴h（x）≥0或h（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
①當p=0時，h（x）=-2x，
∵x＞0，則h（x）＜0，
∴g′(x)=-

2x

x2

＜0，
∴g（x）在（0，+∞）內為單調遞減，
故p=0適合題意；
②當p＞0時，h（x）=px²-2x+p，其圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為x=

1

p

∈（0，+∞），
∴h(x)min=p-

1

p

．
∴p-

1

p

≥0，即p≥1時，h（x）≥0，
∴g'（x）≥0，
∴g（x）在（0，+∞）內為單調遞增，
故p≥1適合題意；
③當p＜0時，h（x）=px²-2x+p，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為x=

1

p

∉（0，+∞），
∴h（0）≤0，即p≤0時，h（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
故p＜0適合題意．
綜合①②③，p的取值范圍為p≥1或p≤0．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，函數的單調性對應著導數的正負．已知函數的單調性，經常會利用導數轉化成恒成立問題進行處理．屬于中檔題．