Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，為上異于的點.

（1）求證：平面平面；

（2）當與平面所成角為時，求的長；

（3）當時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）由為正方形，可得．又平面，得．利用線面垂直的判斷可得平面．從而得到平面平面；

（2）以為原點建立空間直角坐標系．可得，0，，，2，，，2，，，0，，，0，．設是上一點，且，．由此可得點，，．即，，．利用與平面所成角為列式求得值，進一步求得的長；

（3）結合（2）分別求出平面與平面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．

證明：（1）為正方形，．

平面，平面，

．

，平面，平面

平面．

又平面，

平面平面；

解：（2）平面，平面，平面，

，．

底面為正方形，．

如圖以為原點建立空間直角坐標系．

則， ，， ， ，

．，

設是上一點，且，．

因此點，

，

，

，

即

，此時；

解：（3），，

平面．

為平面的法向量，

，．

設平面的法向量為，

由，取，得．

，，

設與的夾角為，．

由圖可知二面角為銳角，

二面角的余弦值為．