Question

【題目】在數列{an}中，a1＝3，且對任意的正整數n，都有an+1＝λan+2×3n，其中常數λ＞0．

（1）設bn．當λ＝3時，求數列{bn}的通項公式；

（2）若λ≠1且λ≠3，設cn＝an，證明：數列{cn}為等比數列；

（3）當λ＝4時，對任意的n∈N*，都有an≥M，求實數M的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析（3）最大值為3．

【解析】

（1）當可得,等式兩邊同除,進而根據等差數列定義以及通項公式求解即可；

（2）將代入中,整理后得遞推關系，再根據等比數列定義即可證明；

（3）當時可得,等式兩邊同除并設,則,利用累加法求得,即可求得,再判斷數列的單調性,進而求解即可.

（1）當λ＝3時,有an+1＝3an+2×3n,

∴,

,則,

又∵,∴數列{bn}是首相為1,公差為的等差數列,

∴

（2）證明：當λ＞0且λ≠1且λ≠3時,

,

又∵,

∴數列是首項為,公比為λ的等比數列

（3）當λ＝4時,an+1＝4an+2×3n,

∴,

設pn,∴,

∴,

,

,

,

∴,

以上各式累加得:,

又∵,

∴,

∴,

∴,

,顯然數列{an}是遞增數列,

∴最小項為a1＝3,

∵對任意的n∈N*,都有an≥M,∴a1≥M,即M≤3,

∴實數M的最大值為3.