Question

（08年德州市質檢理）（12分）已知與向量平行的直線L 過橢圓C:的焦點以及點（0,-2），橢圓C的中心關于直線L的對稱點在直線上

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點E（-2，0）的直線m交橢圓C于點M、N且滿足，（O為坐標原點），求直線的方程

Answer 1

解析：（1）直線L的方程為，①

過原點垂直于L的直線方程為，②

解①②得x =3/2                                                                                                                      2分

因為橢圓中心O（0,0）關于直線的對稱點在直線上

∴

∵直線L過橢圓焦點．∴該焦點坐標為（2，0），∴ c=2，a²=6，b²=2

故橢圓C的方程為    ③                                                                         5分

（2）當直線m的斜率存在時，設直線m的方程為y=k （x+2），代入③并整理得

設M（X₁，Y₁）,N（X₂,Y₂），則   7分

∴

點O到直線m的距離                                                                               9分

∵即

又由得，

∴

而，即，

解得k=±

此時直線m的方程為                                                                      11分

當直線的斜率不存在時，直線的方程為= ―2,也有，

經檢驗。上述直線均滿足

故直線的方程為                                                              12分