Question

已知數列{a_n}是等差數列，a₂=3，a₄+a₅+a₆=27，S_n為數列{a_n}的前n項和
（1）求a_n和S_n；      
（2）若bn=

2

an+1an

，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）根據等差數列的性質化簡a₄+a₅+a₆=27，即可求出a₅的值，又a₂和a₅的值，再利用等差數列的性質即可求出公差d的值，進而由a₂和公差d寫出通項公式及前n項和即可；
（2）把（1）求出的a_n的通項公式代入到b_n中，化簡可得b_n的通項公式，列舉出數列{b_n}的各項，抵消后即可求出數列{b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（1）由已知a₄+a₅+a₆=27，可得3a₅=27，
解得a₅=9．（1分）
設等差數列{a_n}的公差為d，則a₅-a₂=3d=6，解得d=2..（2分）
∴a_n=a₂+（n-2）d=3+（n-2）×2=2n-1，（4分）
故sn=

n(a1+an)

2

=

n(1+2n-1)

2

=n2，
綜上，a_n=2n-1，s_n=n²（7分）
（2）把a_n=2n-1代入得bn=

2

an+1an

=

2

(2n+1)(2n-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，
所以T_n=b₁+b₂+…+b_n=（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…（

1

2n-1

-

1

2n+1

）=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

．

點評：此題考查學生靈活運用等差數列的性質化簡求值，靈活運用等差數列的通項公式及前n項和公式化簡求值，是一道中檔題．