Question

己知向量

a

=（1，2），

a

=（-2，m），

x

=

a

+（t²+1）

a

，

y

=-k

a

+

1

t

a

，m∈R，kt為正實數．
（1）若

a

∥

a

，求m的值；
（2）當m=1時，若

x

⊥

y

，求k的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據題意，結合

a

、

b

的坐標，由向量平行的坐標判斷方法，可得1×m=2×（-2），解可得答案；
（2）根據題意，可得

a

、

b

的坐標，分析可得

a

•

b

=0，由向量垂直與數量積的關系，可得

x

•

y

=[

a

+（t²+1）

b

]•（-k

a

+

1

t

b

=0，對其變形整理可得k=t+

1

t

，由基本不等式的關系，計算可得答案．

解答：解：（1）根據題意，

a

=（1，2），

b

=（-2，m），
若

a

∥

b

，則有1×m=2×（-2），
解可得，m=-4；
（2）若m=1，有

a

=（1，2），

b

=（-2，1），易得

a

•

b

=0，
則

x

=

a

+（t²+1）

b

=（-1-2t²，3+t²），y=-k

a

+

1

t

b

=（-k-

2

t

，-2k+

1

t

），
若

x

⊥

y

，則

x

•

y

=[

a

+（t²+1）

b

]•（-k

a

+

1

t

b

）=-k

a

²+（t+

1

t

）

b

²=5[（t+

1

t

）-k]=0，
即k=t+

1

t

，
又由t＞0，則k≥2

t• 1 t

=2，（當且僅當t=1時等號成立）；
故k的最小值為2．

點評：本題考查向量平行、垂直的坐標判斷以及基本不等式的應用，對于（2），要注意

a

、

b

的坐標，分析得到

a

⊥

b

，結合數量積的運算，化簡

x

•

y

．