Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n（n∈N），關于數列{a_n}有下列三個命題：
①若a_n=a_n+1（n∈N），則{a_n}既是等差數列又是等比數列；
②若Sn=a n2+b n ( a 、 b∈R )，則{a_n}是等差數列；
③若Sn=1-( -1 ) n，則{a_n}是等比數列．
這些命題中，真命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：若數列{a_n}既是等差數列，又是等比數列，那么這個數列一定是一個非0的常數列，根據等比和等差數列的前n項和的公式判斷后面第二個命題不正確，第三個命題正確．

解答：解：①若數列{a_n}既是等差數列，又是等比數列，那么這個數列一定是一個非0的常數列，則a_n=a_n+1≠0時，才滿足題意，故①不正確；
②若S_n=an²+bn（a，b∈R），則數列{a_n}是等差數列；這是判斷等差數列的一種方法，
但是a=0時，不僅是等差數列還是等比數列，故②不正確；
③等比數列的前n項和可寫成常數加上常數乘以qⁿ的形式，
∴若S_n=1-（-1）ⁿ，則數列{a_n}是等比數列，這是判斷等比數列的一種方法．故③正確．
故答案為：③．

點評：本題考查等比數列的性質和等差數列的性質，是一個基礎題，本題解題的關鍵是正確理解兩個特殊數列的意義．