Question

如圖，在三棱錐中，，，設頂點在底面上的射影為．

（Ⅰ）求證:；
（Ⅱ）設點在棱上，且，試求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）根據題意，由于已知條件可知平面，那么利用線面垂直的性質定理得到。
（2）

解析試題分析：證明：（I）方法一：由平面得，
又，則平面，
故，  2分
同理可得，則為矩形，又，
則為正方形，故．  4分
方法二：由已知可得，設為的中點，則，則平面，故平面平面，則頂點在底面上的射影必在，故．
（II）方法一:由（I）的證明過程知平面，過作，垂足為，則易證得，故即為二面角的平面角， 7分
由已知可得，則，故，則，
又，則，  9分
故，即二面角的余弦值為． 11分
方法二: 由（I）的證明過程知為正方形，如圖建立坐標系，

則，
可得， 7分
則，易知平面
的一個法向量為，設平面的一個法向量為
，則由得， 9分
則，即二面角的余弦值為． 11分
考點：線面垂直的性質定理以及二面角的大小
點評：主要是考查了線面垂直以及二面角的平面角的求解的運用屬于基礎題。