Question

【題目】已知公比小于1的等比數列{an}的前n項和為Sn ， a1= ，且13a2=3S3（n∈N*）．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設bn=log3（1﹣Sn+1），若 + +…+ = ，求n．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，a2= q，a3= q2，

∵13a2=3S3，

∴13× q=3× （1+q+q2），

整理得：3q2﹣10q+3=0，

解得：q= 或q=3（舍），

∴an= =2 ；

（2）解：由（1）可知Sn+1= =1﹣ ，

則bn=log3（1﹣Sn+1）=log3（1﹣1+ ）=﹣（n+1），

∵ = = ﹣ ，

∴ + +…+ = ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = ﹣ = ，

∴ = ，

解得：n=100

【解析】（1）通過將a1= ，a2= q，a3= q2代入13a2=3S3計算可知q= 或q=3（舍），進而可得通項公式；（2）通過（1）可知Sn+1=1﹣ ，進而可知bn=﹣（n+1），裂項可知 = ﹣ ，并項相加即得結論．
【考點精析】掌握數列的前n項和和數列的通項公式是解答本題的根本，需要知道數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．