Question

已知m＝(2cos x＋2sin x,1)，n＝(cos x，－y)，且m⊥n.
(1)將y表示為x的函數f(x)，并求f(x)的單調遞增區間；
(2)已知a，b，c分別為△ABC的三個內角A，B，C對應的邊長，若f＝3，且a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面積．

Answer 1

（1）單調遞增區間為，k∈Z（2）

(1)由m⊥n得m·n＝0,2cos²x＋2sin xcos x－y＝0，
即y＝2cos²x＋2sin xcos x＝cos 2x＋sin 2x＋1＝2sin＋1.
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
則－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
故f(x)的單調遞增區間為，k∈Z.
(2)因為f＝3，所以2sin＋1＝3，sin＝1，
所以A＋＝2kπ＋，k∈Z.因為0＜A＜π，所以A＝.
由余弦定理得：a²＝b²＋c²－2bccos A，即4＝b²＋c²－bc，
所以4＝(b＋c)²－3bc，
因為b＋c＝4，所以bc＝4.所以S_△ABC＝bcsin A＝.