Question

【題目】設某等腰三角形的底角為α，頂角為β，且cosβ= ． （Ⅰ）求sinα的值；
（Ⅱ）若函數f（x）=tanx在[﹣ ，α]上的值域與函數g（x）=2sin（2x﹣ ）在[0，m]上的值域相同，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意，β=π﹣2α，

∴cosβ= =﹣cos2α=2sin2α﹣1

∵α∈（0， ），∴sinα= ；

（Ⅱ）由題意，函數f（x）=tanx在[﹣ ，α]上單調遞增，

∵α∈（0， ），sinα= ，∴cosα= ，∴tanα=2，

∴函數f（x）=tanx在[﹣ ，α]上的值域為[﹣ ，2]，

∴函數g（x）=2sin（2x﹣ ）在[0，m]上的值域為[﹣ ，2]，

∴y=sinx在[﹣ ，2m﹣ ]上的取值范圍是[﹣ ，1]，

∴ ≤2m﹣ ≤ ，

∴ ≤m≤ ．

【解析】（Ⅰ）由題意，β=π﹣2α，利用cosβ= =﹣cos2α=2sin2α﹣1求sinα的值；（Ⅱ）若函數f（x）=tanx在[﹣ ，α]上的值域與函數g（x）=2sin（2x﹣ ）在[0，m]上的值域相同，得出y=sinx在[﹣ ，2m﹣ ]上的取值范圍是[﹣ ，1]，即可求m的取值范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的值域的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最�。ù螅┲担�因此求函數的最值與值域，其實質是相同的．