Question

已知x=1是的一個極值點
（I）求b的值；
（II）求函數f（x）的單調減區間；
（III）設g（x）=f（x）-，試問過點（2，5）可作多少條直線與曲線y=g（x）相切？請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵x=1是的一個極值點，
f′（x）=2-+，
∴f′（1）=0，即2-b+1=0，
∴b=3，經檢驗，適合題意，
∴b=3．
（II）由f′（x）=2-+＜0，
得，∴-，
又∵x＞0（定義域），
∴函數的單調減區間為（0，1]．
（III）g（x）=f（x）-=2x+lnx，
設過點（2，5）與曲線g（x）的切線的切點坐標為（x₀，y₀），
∴，
即2x₀+lnx₀-5=（2+）（x₀-2），
∴lnx₀+-5=（2+）（x₀-2），
∴lnx₀+-2=0，
令h（x）=lnx+，
，∴x=2．
∴h（x）在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，
∵h（）=2-ln2＞0，h（2）=ln2-1＜0，h（e²）=＞0，
∴h（x）與x軸有兩個交點，
∴過點（2，5）可作2條直線與曲線y=g（x）相切．
分析：（Ⅰ）先求出f′（x），再由x=1是的一個極值點，得f′（1）=0，由此能求出b．
（II）由f′（x）=2-+＜0，得，再結合函數的定義域能求出函數的單調減區間．
（III）g（x）=f（x）-=2x+lnx，設過點（2，5）與曲線g（x）的切線的切點坐標為（x₀，y₀），故2x₀+lnx₀-5=（2+）（x₀-2），由此能夠推導出過點（2，5）可作2條直線與曲線y=g（x）相切．
點評：本題考查實數值的求法、求函數的減區間、判斷過點（2，5）可作多少條直線與曲線y=g（x）相切，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．