Question

【題目】某工廠某種產品的年固定成本為250萬元，每生產千件，需另投入成本為，當年產量不足80千件時，（萬元）.當年產量不小于80千件時（萬元）.每件商品售價為0.05萬元.通過分析，該工廠生產的商品能全部售完.

（1）寫出年利潤（萬元）關于年產量（千件）的函數解析式；

（2）當年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）100.

【解析】

分析：此題以分段函數為模型建立函數表達式，設千件產品的銷售額為萬元，當時，年利潤；當時，年利潤.再分別求每段函數的值域得出結論。

詳解：∵每件產品的售價為0.05萬元，∴x千件產品的銷售額為0.05×1 000x＝50x萬元．①當0<x<80時，年利潤L(x)＝50x－x2－10x－250＝－x2＋40x－250＝－ (x－60)2＋950，

∴當x＝60時，L(x)取得最大值，且最大值為L(60)＝950萬元；

②當x≥80時，L(x)＝50x－51x－＋1 450－250＝1 200－≤1 200－2＝1 200－200＝1 000，當且僅當x＝，即x＝100時，L(x)取得最大值1 000萬元．

由于950<1 000，

∴當產量為100千件時，該工廠在這一產品的生產中所獲年利潤最大，最大年利潤為

1 000萬元．