Question

【題目】已知橢圓中， 是橢圓的左、右焦點，過作直線交橢圓于兩點，若的周長為8，離心率為.

（1）求橢圓方程；

（2）若弦的斜率不為0，且它的中垂線與軸交于，求的縱坐標的范圍；

（3）是否在軸上存在點，使得軸平分？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）;(3)見解析.

【解析】試題分析：（1）由橢圓的性質可知： 及 ，即可求得 和 的值，即可求得橢圓的方程；（2）當 不存在時， 為原點， ，當 存在時，將直線方程代入橢圓方程，求得關于 的一元二次方程，利用韋達定理求得 及 ，根據中點坐標公式，求得點點 坐標，求得直線 方程，令 ，即可求得的縱坐標的范圍；（3）假設存在，由軸平分 可得， ，由（2）可知，代入即可求得的值.

試題解析：（1）依題意得，解得，所以方程為，

當不存在時， 為原點.，當存在時，由，

則，（*）

設弦的中點為，則，

則，令x=0，有，

綜上所述，Q的縱坐標的范圍為，

（2）存在m=4.假設存在m，由x軸平分可得，

即，

有，將（*）式代入有，解得