Question

（2011•自貢三模）設函數，f（x）=（x²+ax+b）e^3-x（x∈R）的一個極值點是x=3．
（I）求a與b的關系式（用a表示b，并求f（x）的單調區間；
（11）設a＞0，g（x）=（a²+

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4

）e^x若存在ε₁，ε₂∈[0，4]使得f（ε₁）-g（ε₂）＜1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數f（x）=（x²+ax+b）e^3-x（x∈R）的一個極值點是x=3．我們根據函數在某點取得極值的條件，易得f′（3）=0，進而構造方程求出a與b的關系式，分析函數在各個區間上的符號，即可得到答案．
（II）根據g（x）=（a²+

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）e^x，利用導數法確定函數的單調性，再根據（1）的結論，我們可以構造一個關于a的不等式，解不等式即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=-e^3-x，（1分）
由f′（3）=0，得-e^3-3=0，即得b=-3-2a，（2分）
則f′（x）=e^3-x=-e^3-x=-（x-3）（x+a+1）e^3-x．
令f′（x）=0，得x₁=3或x₂=-a-1，由于x=3是極值點，∴-a-1≠3，即a≠-4，（4分）
當a＜-4時，x₂＞3=x₁，則在區間（-∞，3）上，f′（x）＜0，
f（x）為減函數；在區間（3，-a-1）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數；
在區間（-a-1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數．　　　　　　　　　　　　　（5分）
當a＞-4時，x₂＜3=x₁，則在區間（-∞，-a-1）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數；
在區間（-a-1，3）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數；在區間（3，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a＞0時，f（x）在區間（0，3）上的單調遞增，在區間（3，4）上單調遞減，由于f（x）連續，那么f（x）在區間上的值域是，而f（0）=-（2a+3）e³＜0，f（4）=（2a+13）e^-1＞0，f（3）=a+6，
那么f（x）在區間上的值域是（8分）　又g（x）=）=（a²+

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4

）e^x，
在區間上是增函數，且它在區間上的值域是，．（10分）
由于（a²+

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4

）-（a+6）=a²-a+

1

4

=（a-

1

2

）²≥0，
所以只須僅須（a²+

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）-（a+6）＜1且a＞0，解得0＜a＜

3

2

．故a的取值范圍是（0，

3

2

）　（12分）．

點評：本題考查的知識點是函數在某點取得極值的條件，利用導數研究函數的單調性，其中根據已知中的函數的解析式，結合導數公式，求出函數的導函數的解析式，是解答本題的關鍵．