【題目】已知橢圓
：
的離心率為
，過左焦點
的直線與橢圓交于
，
兩點，且線段
的中點為
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設
為上一個動點，過點與橢圓只有一個公共點的直線為
，過點與
垂直的直線為
，求證：與的交點在定直線上，并求出該定直線的方程.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）證明見解析，
，
【解析】
（Ⅰ）設
，
，根據點
，
都在橢圓上，代入橢圓方程兩式相減，根據“設而不求”的思想，結合離心率以及中點坐標公式、直線的斜率建立等式即可求解.
（Ⅱ）設
，由對稱性，設
，由，得橢圓上半部分的方程為
，從而求出直線
的方程，再由過點
與
垂直的直線為
，求出，兩方程聯立，消去
，即可求解.
（Ⅰ）由題可知
，直線
的斜率存在.
設，，由于點，都在橢圓上，
所以
①，
②，
①-②，化簡得
③
又因為離心率為
，所以
.
又因為直線過焦點，線段的中點為
，
所以
，
，
，
代入③式，得
，解得
.
再結合
，解得
，
，
故所求橢圓的方程為.
（Ⅱ）證明：設，由對稱性，設，由，得橢圓上半部分的方程為，
，
又過點
且與橢圓只有一個公共點，所以
，
所以：
，④
因為過點且與垂直，所以：
，⑤
聯立④⑤，消去，得
，
又
，所以
，從而可得，
所以與的交點在定直線上.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知e為自然對數的底數,設函數
,則( )．
A. 當k=1時,f(x)在x=1處取到極小值 B. 當k=1時,f(x)在x=1處取到極大值
C. 當k=2時,f(x)在x=1處取到極小值 D. 當k=2時,f(x)在x=1處取到極大值
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】棋盤上標有第
、
、
、
、
站，棋子開始位于第站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲，若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到調到第
站或第站時，游戲結束.設棋子位于第
站的概率為
.
（1）當游戲開始時，若拋擲均勻硬幣
次后，求棋手所走步數之和
的分布列與數學期望；
（2）證明：
；
（3）求
、
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分13分）如圖，在直角坐標系
中，角
的頂點是原點，始邊與
軸正半軸重合．終邊交單位圓于點
，且
，將角
的終邊按逆時針方向旋轉
，交單位圓于點
，記
．
（1）若
，求
；
（2）分別過
作
軸的垂線，垂足依次為
，記
的面積為
，
的面積為
，若
，求角
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我國古代數學名著《九章算術》中有這樣一些數學用語，“塹堵”意指底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱，而“陽馬”指底面為矩形，且有一側棱垂直于底面的四棱錐.現有一如圖所示的塹堵，
，若
，當陽馬
體積最大時，則塹堵
的外接球體積為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖①，有一個長方體形狀的敞口玻璃容器，底面是邊長為20cm的正方形，高為30cm，內有20cm深的溶液．現將此容器傾斜一定角度
（圖②），且傾斜時底面的一條棱始終在桌面上（圖①、②均為容器的縱截面）．
（1）要使傾斜后容器內的溶液不會溢出，角的最大值是多少？
（2）現需要倒出不少于
的溶液，當
時，能實現要求嗎？請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
．
（1）求函數
的定義域
，并判斷的奇偶性；
（2）如果當
時，的值域是
，求
與
的值；
（3）對任意的
，
，是否存在
，使得
，若存在，求出
；若不存在，請說明理由．
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