Question

【題目】判斷下列命題的真假.

（1）過不在平面內的一點，有且只有一個平面與這個平面平行；

（2）過不在平面內的一條直線，有且只有一個平面與這個平面平行；

（3）給定兩個平行平面中一個平面內的一條直線，則在另一個平面內有且只有一條直線與這條直線平行.

Answer 1

【答案】（1）真命題；（2）假命題；（3）假命題.

【解析】

根據面面平行的判定定理知過平面外可作出一個平面平行已知平面，用反證法證明只有一個平面滿足，可判斷（1）的真假；根據直線與平面的位置關系，判斷（2）的真假；根據面面平行的性質定理，可判斷（3）的真假.

（1）設平面，點，在平面作兩條相交的直線，

過點作兩直線，使得，則確定平面，

，，，同理，，所以.

假設還存在一個平面，

則有，與存在公共點矛盾，故假設不成立，

即滿足條件的平面有且只有一個，所以（1）為真命題；

（2）若直線與平面相交，則過這條直線不存在平面與這個平面平行，所以（2）是假命題；

（3）給定兩個平行平面中一個平面內的一條直線，根據面面平行性質定理和平行線的傳遞性，則在另一個平面內有無數條直線與這條直線平行，所以（3）是假命題.

綜上:（1）真命題；（2）假命題；（3）假命題.