Question

【題目】古希臘數學家阿波羅尼奧斯發現：平面上到兩定點，距離之比為常數且的點的軌跡是一個圓心在直線上的圓，該圓簡稱為阿氏圓．根據以上信息，解決下面的問題：如圖，在長方體中，，點在棱上，，動點滿足．若點在平面內運動，則點所形成的阿氏圓的半徑為________；若點在長方體內部運動，為棱的中點，為的中點，則三棱錐的體積的最小值為___________．

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）以AB為軸，AD為軸，為軸，建立如圖所示的坐標系，設，求出點P的軌跡為，即得解；（2）先求出點P的軌跡為，P到平面的距離為，再求出的最小值即得解.

（1）以AB為軸，AD為軸，為軸，建立如圖所示的坐標系，則設，

由得，

所以，

所以若點在平面內運動，則點所形成的阿氏圓的半徑為.

（2）設點，由得，

所以，

由題得

所以設平面的法向量為，

所以，

由題得，

所以點P到平面的距離為，

因為，

所以，所以點M到平面的最小距離為，

由題得為等邊三角形，且邊長為，

所以三棱錐的體積的最小值為.

故答案為：(1). (2). ．