Question

已知，函數.

   （1）求的極值；

   （2）若在上為單調遞增函數，求的取值范圍；

   （3）設，若在（是自然對數的底數）上至少存在一個，使得成立，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1） 無極大值（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）由題意，，，

∴當時，；當時，，

所以，在上是減函數，在上是增函數，

故 無極大值.                                                    …4分

（2），，

由于在內為單調增函數，所以在上恒成立，

即在上恒成立，故，所以的取值范圍是．…………………9分

（3）構造函數，

當時，由得，，，所以在上不存在一個，使得．

當時，，

因為，所以，，

所以在上恒成立，

故在上單調遞增，，

所以要在上存在一個，使得，必須且只需，

解得，故的取值范圍是．                                       …14分

另法:（Ⅲ）當時，．

當時，由，得 ，

令，則，

所以在上遞減，．

綜上，要在上存在一個，使得，必須且只需．

考點：本小題主要考查利用導數求函數的單調區間，利用導數判斷函數的單調性，解決有關方程的綜合問題.

點評：縱觀歷年高考試題，利用導數討論函數單調區間是函數考查的主要形式，是高考熱點，是解答題中的必考題目，在復習中必須加強研究，進行專題訓練，熟練掌握利用導數判斷函數單調區間的方法，總結函數單調性應用的題型、解法，并通過加大訓練強度提高解題能力.