Question

【題目】已知函數f（x）=x3 （1﹣a）x2﹣3ax+1，a＞0．
（1）試討論f（x）（x≥0）的單調性；
（2）證明：對于正數a，存在正數p，使得當x∈[0，p]時，有﹣1≤f（x）≤1；
（3）設（1）中的p的最大值為g（a），求g（a）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于f'（x）=3x2+3（1﹣a）x﹣3a=3（x+1）（x﹣a），且a＞0，

故f（x）在[0，a]上單調遞減，在[a，+∞）上單調遞增．

（2）證明：因為 ．

當f（a）≥﹣1時，取p=a．此時，當x∈[0，p]時，有﹣1≤f（x）≤1成立．

當f（a）＜﹣1時，由于f（0）+1=2＞0，f（a）+1＜0，

故存在p∈（0，a）使得f（p）+1=0．

此時，當x∈[0，p]時，有﹣1≤f（x）≤1成立．

綜上，對于正數a，存在正數p，使得當x∈[0，p]時，有﹣1≤f（x）≤1．

（3）由（2）知f（x）在[0，+∞）上的最小值為f（a）．

當0＜a≤1時，f（a）≥﹣1，則g（a）是方程f（p）=1滿足p＞a的實根，

即 2p2+3（1﹣a）p﹣6a=0滿足p＞a的實根，

所以 ．

又g（a）在（0，1]上單調遞增，故 ．

當a＞1時，f（a）＜﹣1，由于 ，

故[0，p][0，1]．此時，g（a）≤1．

綜上所述，g（a）的最大值為 ．

【解析】（1）對函數進行求導，分析導函數的符號即可得出函數的單調性；（2）寫出的表達式，當時，取,此時，當時，有成立，當時，推出,,即可證明對于正數,存在正數,使得當時，有;（3）在上的最小值為,通過當時，求解函數的最值，當時，說明,可得到最大值為