Question

【題目】在直角坐標系中,曲線的參數方程為(為參數),以原點為極點,軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程與曲線直角坐標方程；

（2）設為曲線上的動點,求點到上點的距離的最小值,并求此時點的坐標.

Answer 1

【答案】（1），；（2）的最小值為,此時點P的坐標為

【解析】

（1）由曲線得,兩式兩邊平方相加，即可得到曲線的普通方程，由極坐標和直角坐標的互化公式，即可得到曲線的直角坐標方程.

（2）由（1），設橢圓上的點到直線的距離，轉化為三角函數，利用三角函數的圖象與性質，即可求解。

（1）由曲線得,

兩式兩邊平方相加得,

即曲線的普通方程為

由曲線得:,

即,所以,

即曲線的直角坐標方程為.

（2）由（1）知橢圓與直線無公共點,

依題意有橢圓上的點到直線的距離為

,

所以當時,取得最小值,

此時,點的坐標為。