Question

【題目】如圖1，梯形中， ， ， ， ， 為中點.將沿翻折到的位置，使，如圖2.

（Ⅰ）求證：平面與平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）設分別為和的中點，試比較三棱錐和三棱錐（圖中未畫出）的體積大小，并說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（Ⅲ）見解析

【解析】試題分析：(1)由題意易知： ， ，所以平面，從而得證；（2）建立空間坐標系，平面的法向量為，代入公式即可求得；（3）利用向量法證明平面，所以三棱錐和三棱錐的體積大小相同.

試題解析：

（Ⅰ）證明：因為， ， ， 平面

所以平面

因為平面，所以平面平面

（Ⅱ）解：在平面內作，

由平面，建系如圖.

則， ， ， ， .,

， ，

設平面的法向量為，則

，即，

令得， ，

所以是平面的一個法向量.

,

所以與平面所成角的正弦值為.

（Ⅲ）解：三棱錐和三棱錐的體積相等.

理由如：由， ，

知，則

因為平面，所以平面

故點到平面的距離相等，有三棱錐和同底等高，

所以體積相等.