Question

已知函數f(x)=

1+lnx

x

（1）若函數f（x）在區間(

a

2

，a+

1

2

)上存在極值，其中a＞0，求實數a的取值范圍．
（2）設g(x)=xf(x)+bx-1+ln(2-x

)

(b＞0)，若g（x）在（0，1]上的最大值為

1

2

，求實數b的值．

Answer 1

分析：（1）利用導數求出函數f（x）的極值點，設為x₀，則x0∈(

a

2

，a+

1

2

)，由此可得a的范圍；
（2）寫出g（x）的表達式，利用導數求出g（x）在（0，1]上的最大值，使其等于

1

2

，即可求得b值；

解答：解：（1）∵函數f（x）的定義域為{x|x＞0}，f′(x)=-

lnx

x2

，
令f′(x)=-

lnx

x2

=0，解得x=1，
當0＜x＜1時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；當x＞1時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，
∴f（x）在x=1處取極大值，
因為f（x）在區間(

a

2

，a+

1

2

)上存在極值，所以

a

2

＜1＜a+

1

2

，解得

1

2

＜a＜2，
所以實數a的取值范圍是（

1

2

，2）．
（2）g（x）=xf（x）+bx-1-ln（2-x）=bx+lnx-ln（2-x），
∵b＞0，當x∈（0，1]時，g′（x）=b+

2

x(2-x)

＞0，
所以g（x）在（0，1]上單調遞增，
故g（x）在（0，1]上的最大值為g（1）=b，
因此b=

1

2

．

點評：本題考查應用導數研究函數的極值及求函數在閉區間上的最值問題，準確求導，熟知導數與函數極值、最值的關系是解決問題的基礎．