Question

已知函數f（x）=x²+ax-lnx，a∈R．
（Ⅰ）若a=0時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數f（x）在[1，2]上是減函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-x²，是否存在實數a，當x∈（0，e]（e是自然常數）時，函數g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）欲求在點（1，f（1））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（II）先對函數f（x）進行求導，根據函數f（x）在[1，2]上是減函數可得到其導函數在[1，2]上小于等于0應該恒成立，再結合二次函數的性質可求得a的范圍．
（III）先假設存在，然后對函數g（x）進行求導，再對a的值分情況討論函數g（x）在（0，e]上的單調性和最小值取得，可知當a=e²能夠保證當x∈（0，e]時g（x）有最小值3．

解答：解：（I）a=0時，曲線y=f（x）=x²-lnx，
∴f′（x）=2x-

1

x

，∴g′（1）=1，又f（1）=1
曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程x-y=0．
（II） f′(x)=2x+a-

1

x

=

2x2+ax-1

x

≤0在[1，2]上恒成立，
令h（x）=2x²+ax-1，有

h(1)≤0 h(2)≤0

得

a≤-1 a≤- 7 2

，
得 a≤-

7

2

（II）假設存在實數a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，g′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

①當a≤0時，g（x）在（0，e]上單調遞減，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍去），
②當 0＜

1

a

＜e時，g（x）在 (0，

1

a

)上單調遞減，在 (

1

a

，e]上單調遞增
∴g(x)min=g(

1

a

)=1+lna=3，a=e²，滿足條件．
③當

1

a

≥e時，g（x）在（0，e]上單調遞減，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍去），
綜上，存在實數a=e²，使得當x∈（0，e]時g（x）有最小值3．

點評：本題主要考查導數的運算和函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．