Question

如圖，一圓形靶分成A，B，C三部分，其面積之比為1：1：2．某同學向該靶投擲3枚飛鏢，每次1枚．假設他每次投擲必定會中靶，且投中靶內各點是隨機的．
（Ⅰ）求該同學在一次投擲中投中A區域的概率；
（Ⅱ）設x表示該同學在3次投擲中投中A區域的次數，求x的分布列及數學期望；
（Ⅲ）若該同學投中A，B，C三個區域分別可得3分，2分，1分，求他投擲3次恰好得4分的概率．

Answer 1

分析：（1）題考查的知識點是幾何概型的意義，關鍵是要找出滿足條件A的區域面積和總面積之間的關系，再根據幾何概型計算公式給出答案；（2）根據（1）中投中A區域的概率，不難列出x的分布列并進行數學期望；（3）考查的是古典概型，我們可以列舉出三次投擲總的基本事件個數及恰得4分的事件個數，代入古典概型計算公式求解．

解答：解：（Ⅰ）設該同學在一次投擲中投中A區域的概率為P（A），
依題意，P(A)=

1

4

．
（Ⅱ）依題意知，X～B(3，

1

4

)，P(X=k)=

C

k n

(

1

4

)k(1-

1

4

)n-k（k=0，1，2，3）
從而X的分布列為：

EX=np=

3

4

（Ⅲ）設B_i表示事件“第i次擊中目標時，擊中B區域”，C_i表示事件“第i次擊中目標時，擊中C區域”，i=1，2，3．
依題意知P=P(B1C2C3)+P(C1B2C3)+P(C1C2B3)=3×

1

4

×

1

2

×

1

2

=

3

16

．

點評：求古典概型的概率的基本步驟為：（1）算出所有基本事件的個數n．（2）求出事件A包含的所有基本事件數m．（3）代入公式，求出P（A）．幾何概型中的三種基本度量為長度、面積和體積，在解題時要準確把握，要把問題向它們作合理地轉化，要注意古典概型與幾何概型的區別（基本事件的有限性和無限性），正確選用幾何概型解題．