Question

已知等比數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=C_2m+3^3m•A_m-2¹，公比q是（x+

1

4x2

）⁴的展開式中的第二項．
（Ⅰ）求實數m的值，并用含x的式子表示公比q；
（Ⅱ）用n，x表示通項a_n與前n項和S_n；
（Ⅲ）若A_n=C_n¹S₁+C_n²S₂+…+C_nⁿS_n，用n，x表示A_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意，有a₁=C_2m+3^3m•A_m-2¹，由二項式系數的性質，可得

2m+3≥3m m-2≥1

，解可得

m≥3 m≤3

；即m=3，寫出(x+

1

4x2

)4的展開式中的通項的第二項，即可得公比；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結論，可得a₁與公比，可得等比數列的通項為a_n=x^n-1，分x=1與x≠1兩種情況討論，分別求出S_n，綜合可得答案；
（Ⅲ）分x=1與x≠1兩種情況討論，當x=1時，S_n=n，A_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，倒序相加可得2A_n=n（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ），由二項式定理可得2A_n=n•2ⁿ，化簡可得A_n=n•2^n-1，當x≠1時，Sn=

1-xn

1-x

，代入可得A_n的表達式，綜合可得答案．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=C_2m+3^3m•A_m-2¹
∴

2m+3≥3m m-2≥1

，解可得

m≥3 m≤3

；
∴m=3，
由(x+

1

4x2

)4的展開式中的通項公式知q=T2=

C

1 4

x4-1(

1

4x2

)=x，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，a₁=C_2m+3^3m•A_m-2¹=C₆⁶•A₁¹=1，其公比為x，
則a_n=x^n-1，
當x=1時，a_n=1，S_n=1+1+…+1=n，
當x≠1時，S_n=

1(1-xn)

1-x

=

1-xn

1-x

，
則Sn=

n(x=1) 1-xn 1-x (x≠1)

；
（Ⅲ）當x=1時，S_n=n，A_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=0C_n⁰+C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ①
又∵A_n=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+（n-2）C_n^n-2+…+C_n¹+0C_n⁰，②
①+②可得：2A_n=n（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）=n•2ⁿ，
∴A_n=n•2^n-1，
當x≠1時，Sn=

1-xn

1-x

，

An= 1-x 1-x C 1 n + 1-x2 1-x C 2 n +…+ 1-xn 1-x C n n = 1 1-x [( C 0 n + C 1 n + C 2 n +…+ C n n )-( C 0 n +x C 1 n +x2 C 2 n +…+xn C n n )] = 1 1-x [2n-(1+x)n]

則An=

n•2n-1(x=1) 2n-(1+x)n 1-x (x≠1)

．

點評：本題考查等比數列的求和、二項式定理的應用；注意對等比數列求和時，討論公比是否為1．