Question

已知函數f（x）是二次函數，有f（0）=1，f（1）=0，且對任意的實數x都有f（1+x）=f（1-x）恒成立．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用單調性的定義證明函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數；
（Ⅲ）求函數f（x）在[1，5]上最大值和最小值，并指出取得最大（�。┲禃r相應的x的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意設函數f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=1，∴c=1，∵f（1）=0，∴a+b+1=0，①
由對任意的實數x都有f（1+x）=f（1-x）恒成立知， ②
由①②解得，a=1，b=-2，
∴f（x）=x²-2x+1

（Ⅱ）設x₁＞x₂≥1，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁²-2x₁+1-（x₂²-2x₂+1）=（x₁²-x₂²）-2（x₁-x₂）=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）
∵x₁＞x₂≥1，∴x₁-x₂＞0，x₁+x₂-2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
則函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，函數f（x）在[1，5]上是增函數，
∴當x=1時，函數取到最小值是0；當x=5時，函數取到最大值是16．
分析：（Ⅰ）由題意設函數的解析式，利用條件列出方程求出系數；
（Ⅱ）利用取值、作差、變形、判斷符號、下結論這五步進行證明，主要利用平方差公式和提取公因式進行變形；
（Ⅲ）根據（Ⅱ）的結果，即函數在所給區間上的單調性，求出函數的最值以及對應的自變量的值．
點評：本題考查了二次函數的綜合問題，用待定系數法求出解析式，利用取值、作差、變形、判斷符號、下結論這五步證明單調性，根據單調性求區間上的最值，本題考查全面，但是難度不大．