Question

已知函數f（x）=

lnx+k

ex

（k為常數，e=2.71828…是自然對數的底數），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與x軸平行．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間；
（Ⅲ）設g（x）=（x²+x）f′（x），其中f′（x）是f（x）的導函數．證明：對任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)=

1 x -lnx-k

ex

，
依題意，∵曲線y=f（x） 在點（1，f（1））處的切線與x軸平行，
∴f′(1)=

1-k

e

=0，
∴k=1為所求．
（Ⅱ）k=1時，f′(x)=

1 x -lnx-1

ex

（x＞0）
記h（x）=

1

x

-lnx-1，函數只有一個零點1，且當x＞1時，h（x）＜0，當0＜x＜1時，h（x）＞0，
∴當x＞1時，f′（x）＜0，∴原函數在（1，+∞）上為減函數；當0＜x＜1時，f′（x）＞0，
∴原函數在（0，1）上為增函數．
∴函數f（x）的增區間為（0，1），減區間為（1，+∞）．
（Ⅲ）證明：g（x）=（x²+x）f′（x）=

1+x

ex

（1-xlnx-x），先研究1-xlnx-x，再研究

1+x

ex

．
①記r（x）=1-xlnx-x，x＞0，∴r′（x）=-lnx-2，令r′（x）=0，得x=e^-2，
當x∈（0，e^-2）時，r′（x）＞0，r（x）單增；
當x∈（e^-2，+∞）時，r′（x）＜0，r（x）單減．
∴r（x）_max=r（e^-2）=1+e^-2，即1-xlnx-x≤1+e^-2．
②記s（x）=

1+x

ex

，x＞0，
∴s′(x)=-

x

ex

＜0，∴s（x）在（0，+∞）單減，
∴s（x）＜s（0）=1，即

1+x

ex

＜1．
綜①、②知，g（x））=

1+x

ex

（1-xlnx-x）≤（

1+x

ex

）（1+e^-2）＜1+e^-2．