Question

【題目】已知正項數列{an}的首項a1=1，且（n+1）a +anan+1﹣na =0對n∈N*都成立．
（1）求{an}的通項公式；
（2）記bn=a2n﹣1a2n+1 ， 數列{bn}的前n項和為Tn ， 證明：Tn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：（n+1）a +anan+1﹣na =0對n∈N*都成立．

∴[（n+1）an+1﹣nan]（an+1+an）=0，∵an+1+an＞0，

∴（n+1）an+1﹣nan=0，即 = ．

∴an= … = … 1=

（2）解：證明：bn=a2n﹣1a2n+1= = ．

數列{bn}的前n項和為Tn= +…+

= ．

即Tn＜ ．

【解析】（1）（n+1）a +anan+1﹣na =0對n∈N*都成立．分解因式可得：[（n+1）an+1﹣nan]（an+1+an）=0，由an+1+an＞0，可得（n+1）an+1﹣nan=0，即 = ．利用“累乘求積”方法即可得出．（2）bn=a2n﹣1a2n+1= = ．利用裂項求和方法、數列的單調性即可得出．