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(理科做)
閱讀下面題目的解法,再根據要求解決后面的問題.
閱讀題目:對于任意實數a1,a2,b1,b2,證明不等式(a1b1+a2b22≤(a12+a22)(b12+b22).
證明:構造函數f(x)=(a1x+b12+(a2x+b22=(a12+a22)x2+2(a1b1+a2b2)x+(b12+b22).
注意到f(x)≥0,所以△=[2(a1b1+a2b2)]2-4(a12+a22)(b12+b22)≤0,
即(a1b1+a2b22≤(a12+a22)(b12+b22).
(其中等號成立當且僅當a1x+b1=a2x+b2=0,即a1b2=a2b1.)
問題:(1)請用這個不等式證明:對任意正實數a,b,x,y,不等式數學公式成立.
(2)用(1)中的不等式求函數數學公式的最小值,并指出此時x的值.
(3)根據閱讀題目的證明,將不等式(a1b1+a2b22≤(a12+a22)(b12+b22)進行推廣,得到一個更一般的不等式,并用構造函數的方法對你的推廣進行證明.

證明:(1)因為都是a,b,x,y正實數,由已知不等式得,(2分)
所以不等式成立.
(其中等號成立當且僅當,即ay=bx.)…(4分)
解:2)因為,所以…(7分)
(其中等號成立當且僅當2(1-2x)=3•2x即
所以函數有最小值25,此時.…(10分)
解:(3)可將不等式推廣到n元的情形,即
對于任意實數a1,a2,…,an;b1,b2,…,bn,
不等式(a1b1+a2b2+…+anbn2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)成立.…(13分)
證明如下:
設f(x)=(a1x+b12+(a2x+b22+…+(anx+bn2=(a12+a22+…+an2)x2+2(a1b1+a2b2+…+anbn)x+(b12+b22+…+bn2).注意到f(x)≥0,所以△=[2(a1b1+a2b2+…+anbn)]2-4(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≤0,
即(a1b1+a2b2+…+anbn2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2).…(15分)
其中等號成立當且僅當a1x+b1=a2x+b2=…=anx+bn=0,
即aibj=ajbi(i,j=1,2,…,n,i≠j).…(16分)
分析:(1)不等式兩邊同乘x+y,然后利用已知條件,證明不等式,再轉化為所求證的不等式即可.
(2)直接利用(a1b1+a2b22≤(a12+a22)(b12+b22),求出函數的最小值即可.
(3)可將不等式推廣到n元的情形,對于任意實數a1,a2,…,an;b1,b2,…,bn,不等式(a1b1+a2b2+…+anbn2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)成立.證明如下:設f(x)=(a1x+b12+(a2x+b22+…+(anx+bn2=(a12+a22+…+an2)x2+2(a1b1+a2b2+…+anbn)x+(b12+b22+…+bn2).注意到f(x)≥0,所以△≤0,推出要證明的結論.
點評:本題是中檔題,考查不等式的證明與應用,不等式求函數的最值,考查選上的閱讀能力,知識的應用能力,邏輯推理能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:閱讀理解

仔細閱讀下面問題的解法:
設A=[0,1],若不等式21-x+a>0在A上有解,求實數a的取值范圍.
解:令f(x)=21-x+a,因為f(x)>0在A上有解.
⇒f(x)在A上的最大值大于0,
又∵f(x)在[0,1]上單調遞減
⇒f(x)最大值=f(0)

=2+a>0⇒a>-2
學習以上問題的解法,解決下面的問題,已知:函數f(x)=x2+2x+3(-2≤x≤-1).
①求f(x)的反函數f-1(x)及反函數的定義域A;
②設B={x|lg
10-x
10+x
>lg(2x+a-5)}
,若A∩B≠∅,求實數a的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(理科做)
閱讀下面題目的解法,再根據要求解決后面的問題.
閱讀題目:對于任意實數a1,a2,b1,b2,證明不等式(a1b1+a2b22≤(a12+a22)(b12+b22).
證明:構造函數f(x)=(a1x+b12+(a2x+b22=(a12+a22)x2+2(a1b1+a2b2)x+(b12+b22).
注意到f(x)≥0,所以△=[2(a1b1+a2b2)]2-4(a12+a22)(b12+b22)≤0,
即(a1b1+a2b22≤(a12+a22)(b12+b22).
(其中等號成立當且僅當a1x+b1=a2x+b2=0,即a1b2=a2b1.)
問題:(1)請用這個不等式證明:對任意正實數a,b,x,y,不等式
a2
x
+
b2
y
(a+b)2
x+y
成立.
(2)用(1)中的不等式求函數y=
2
x
+
9
1-2x
(0<x<
1
2
)
的最小值,并指出此時x的值.
(3)根據閱讀題目的證明,將不等式(a1b1+a2b22≤(a12+a22)(b12+b22)進行推廣,得到一個更一般的不等式,并用構造函數的方法對你的推廣進行證明.

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科目:高中數學 來源: 題型:閱讀理解

仔細閱讀下面問題的解法:
設A=[0,1],若不等式21-x-a>0在A上有解,求實數a的取值范圍.
解:由已知可得  a<21-x
令f(x)=21-x,不等式a<21-x在A上有解,
∴a<f(x)在A上的最大值
又f(x)在[0,1]上單調遞減,f(x)max=f(0)=2
∴a<2即為所求.
學習以上問題的解法,解決下面的問題:
(1)已知函數f(x)=x2+2x+3 (-2≤x≤-1)求f(x)的反函數及反函數的定義域A;
(2)對于(1)中的A,設g(x)=
10-x
10+x
x∈A,試判斷g(x)的單調性;(不證)
(3)又若B={x|
10-x
10+x
>2x+a-5},若A∩B≠Φ,求實數a的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:閱讀理解

仔細閱讀下面問題的解法:

    設A=[0, 1],若不等式21-x-a>0在A上有解,求實數a的取值范圍。

    解:由已知可得  a 21-x

        令f(x)= 21-x ,∵不等式a <21-x在A上有解,

        ∴a <f(x)在A上的最大值.

        又f(x)在[0,1]上單調遞減,f(x)max =f(0)=2.  ∴實數a的取值范圍為a<2.

研究學習以上問題的解法,請解決下面的問題:

(1)已知函數f(x)=x2+2x+3(-2≤x≤-1),求f(x)的反函數及反函數的定義域A;

(2)對于(1)中的A,設g(x)=,x∈A,試判斷g(x)的單調性(寫明理由,不必證明);

(3)若B ={x|>2x+a–5},且對于(1)中的A,A∩B≠F,求實數a的取值范圍。

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