Question

（2009•濱州一模）已知等差數列{a_n}的前n項和胃S_n，公差d≠0，且S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若從數列{a_n}中依次取出第2項、第4項、第8項，…，第2ⁿ項，…，按原來順序組成一個新數列{b_n}，記該數列的前n項和為T_n，求T_n的表達式．

Answer 1

分析：（1）設出等差數列的公差為d，利用S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比數列，建立方程，求出首項與公差，即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）確定新數列{b_n}的通項，利用分組求和，即可求T_n的表達式．

解答：解：（1）設等差數列的公差為d，則
∵S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比數列，
∴3a₁+3d+5a₁+10d=50，（a₁+3d）²=a₁（a₁+12d）
∵公差d≠0，∴a₁=3，d=2
∴數列{a_n}的通項公式a_n=2n+1；
（2）據題意得b_n=a2n=2×2ⁿ+1．
∴數列{b_n}的前n項和公式：T_n=（2×2+1）+（2×2²+1）+…+（2×2ⁿ+1）=2×（2+2²+…+2ⁿ）+n=2×

2(1-2n)

1-2

+n=2ⁿ⁺²+n-4．

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，考查由等差數列的性質求其通項，考查利用分組求和的技巧求新數列的和，其特征是一個數列的通項如果一個等差數列的項與一個等比數列的項，則可以采用分組的方法求和．