Question

【題目】如圖，在六面體中，平面平面，平面，，，且.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）設DG的中點為M，連結AM，FM，則DEFM是平行四邊形，從而MF∥DE，且MF＝DE，進而AB∥DE，推導出四邊形ABFM是平行四邊形，從而BF∥AM，由此能證明BF∥平面ACGD．

（2）以DE，DG，DA分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角D﹣CG﹣F的余弦值．

（1）證明：設的中點為，連接，則是平行四邊形，

所以且，因為平面平面，

又平面平面，平面平面，

所以，因為，所以且，

所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，

故平面.

（2）由題意可得：兩兩垂直，故以分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，令，

則，，，，，，

所以，設平面的法向量，則

，令，則，

因為平面的法向量，

所以

由于所求二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.