Question

對于函數f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為函數f（x）的不動點；已知f（x）=x²+bx+c．
（1）若f（x）有兩個不動點為-3，2，求函數y=f（x）的零點？
（2）已知當c=

9

4

時，函數f（x）沒有不動點，求實數b的取值范圍？

Answer 1

分析：（1）-3，2為x²+（b-1）x+c=0的兩根，解方程可求得b、c的值，從而可求得函數y=f（x）的零點；
（2）當c=

9

4

時，函數f（x）沒有不動點，就是方程x²+（b-1）x+

9

4

=0無實數根，由△＜0即可求得實數b的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）有兩個不動點為-3，2，
∴-3，2是方程x²+bx+c=x的兩根，
整理得：x²+（b-1）x+c=0，
∴-3+2=1-b，-3×2=c，
∴b=2，c=-6．
∴f（x）=x²+bx+c=x²+2x-6
由f（x）=0得其零點為x_1，2=

-2± 4-4×1×(-6)

2

=-1±

7

．
（2）∵c=

9

4

時，函數f（x）沒有不動點，
∴x²+（b-1）x+

9

4

=0無實數根，
∴△=（b-1）²-9＜0，解得-2＜b＜4．
∴實數b的取值范圍為：-2＜b＜4．

點評：本題主要考查的知識點是二次函數的性質，方程的解法，方程根的情況以及函數的零點．其中根據已知中的新定義，構造滿足條件的方程是解答本題的關鍵．