Question

【題目】已知函數f（x）= ．
（1）判斷f（x）在（0，+∞）的單調性；
（2）若x＞0，證明：（ex﹣1）ln（x+1）＞x2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由函數f（x）的定義域為（﹣1，0）∪（0，+∞）

∴f′（x）= ，

設g（x）= ﹣ln（1+x），

∴g′（x）= ﹣ = ＜0，

∴g（x）在（0，+∞）為減函數，

∴g（x）＜g（0）=0，

∴f′（x）＜0，

∴f（x）在（0，+∞）為減函數

（2）解：（ex﹣1）ln（x+1）＞x2等價于 ＞ ，

∵ = = ，

∴原不等式等價于 ＞ ，

由（1）知，f（x）= 是（0，+∞）上的減函數，

∴要證原不等式成立，只需要證明當x＞0時，x＜ex﹣1，

令h（x）=ex﹣x﹣1，

∴h′（x）=ex﹣1＞0，

∴h（x）是（0，+∞）上的增函數，

∴h（x）＞h（0）=0，

即x＜ex﹣1，

∴f（x）＞f（ex﹣1），

即 ＞ =＞ ，

故（ex﹣1）ln（x+1）＞x2

【解析】（1）根據導數和函數單調性的關系，以及導數和最值得關系即可求出；（2）原不等式等價于 ＞ ，要證原不等式成立，只需要證明當x＞0時，x＜ex﹣1，令h（x）=ex﹣x﹣1，利用導數和最值得關系即可證明．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減即可以解答此題．