Question

已知關于x的函數f（x）=x²+2ax+b（其中a，b∈R）
（Ⅰ）求函數|f（x）|的單調區間；
（Ⅱ）令t=a²-b．若存在實數m，使得|f(m)|≤

1

4

與|f(m+1)|≤

1

4

同時成立，求t的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）=（x+a）²-a²+b開口向上，但a²-b的正負不定，所以在取絕對值時要分類討論．在每一種情況下分別求|f（x）|的單調區間．
（Ⅱ）存在實數m，使得|f(m)|≤

1

4

與|f(m+1)|≤

1

4

同時成立，即為兩變量對應的函數值都小于等于

1

4

的兩變量之間間隔不超過1，故須對a²-b和-

1

4

，

1

4

的大小分情況討論，求出a²-b的取值范圍，進而求得t的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+2ax+b=（x+a）²-（a²-b）
∴①當a²-b≤0時，單調區間為：（-∞，-a]上為減，[-a，+∞）上為增；（2分）
②當a²-b＞0時，單調區間為：(-∞，-a-

a2-b

)減，
(-a-

a2-b

，-a)增，(-a，-a+

a2-b

)減，(-a+

a2-b

，+∞)增（5分）
（Ⅱ）因為：若存在實數m，使得|f(m)|≤

1

4

與|f(m+1)|≤

1

4

同時成立，即為兩變量對應的函數值都小于等于

1

4

的兩變量之間間隔不超過1，故須對a²-b和-

1

4

，

1

4

的大小分情況討論
①當-

1

4

≤a2-b≤0時，由方程x2+2ax+b=

1

4

，解得x1，2=-a±

a2-b+ 1 4

，
此時|x2-x1|=2

a2-b+ 1 4

≤1，不滿足．（8分）
②當

1

4

＞a2-b＞0時，由方程x2+2ax+b=

1

4

，解得x1，2=-a±

a2-b+ 1 4

此時|x2-x1|=2

a2-b+ 1 4

∈(1，

2

)，滿足題意．（11分）
③當a2-b≥

1

4

時，由方程x2+2ax+b=

1

4

，方程x2+2ax+b=-

1

4

和解得x1，2=-a±

a2-b+ 1 4

，x3，4=-a±

a2-b- 1 4

此時由于|x2-x1|=2

a2-b+ 1 4

∈[

2

，+∞)，|x3-x1|=

a2-b+ 1 4

-

a2-b- 1 4

=

1 2

a2-b+ 1 4 + a2-b- 1 4

≤

2

4

＜1
所以只要|x3-x4|=2

a2-b- 1 4

≤1即可，此時a2-b≤

1

2

，綜上所述t的最大值為

1

2

．（16分）

點評：本題考查了數學上的分類討論思想．分類討論目的是，分解問題難度，化整為零，各個擊破．