Question

已知函數對任意實數x、y都有=·，且，，當時，0≤＜1．

（1）求及的值；

（2）判斷的奇偶性；

（3）判斷在[0，＋∞上的單調性，并給出證明；

（4）若且≤，求的取值范圍．

Answer 1

解：⑴=0  ……………1分

∵=9，又=·=··= []，

∴9 = []，∴=，……………3分

⑵令y =－1，則=·，

∵=1，∴=  ，且 所以為偶函數．……………6分

⑶若x≥0，則==·=[]≥0．……………7分

若存在，則，矛盾，

所以當時，……………8分

設0≤x＜x，則0≤＜1，∴==·，……………9分

∵當x≥0時≥0，且當0≤x＜1時，0≤＜1．

∴0≤＜1，∴＜，故函數在[0，＋∞上是增函數．………11分

（4）∵≤，∴≤，……………12分

∵a≥0，(a＋1)，3[0，＋∞，函數在[0，＋∞上是增函數．

∴a＋1≤3，即a≤2，   ……………13分

又a≥0，故0≤a≤2．