Question

【題目】已知函數f（x）=ex﹣2x+2（x∈R）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）求證：x＞0時，ex＞x2﹣2x+1．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=ex﹣2x+2（x∈R）．得f′（x）=ex﹣2，

令f′（x）=ex﹣2=0得，x=ln2，

當x＞ln2時，f′（x）＞0；當x＜ln2時，f′（x）＜0，

故當x=ln2時，f（x）有極小值也是最小值為f（ln2）=2（2﹣ln2）

（2）解：證明：設．（x＞0），則g′（x）=ex﹣2x+2，

由（1）知g′（x）=ex﹣2x+2有最小值g′（ln2）=2（2﹣ln2），

于是對于x＞0，都有g′（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上遞增，

而g（0）=0，從而對任意x∈（0，+∞），g（x）＞0，

即x＞0時，ex＞x2﹣2x+1

【解析】（1）求出函數的導數，求得單調區間，即可得到極小值，也為最小值；（2）構造函數g（x）=ex﹣x2+2x﹣1，通過導數求出g（x）的單調性，即可得到證明．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解基本求導法則的相關知識，掌握若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．